Aide contextuelle

Pavage

Un pavage est un remplissage régulier du plan, réalisé avec une figure unique.

La figure de base s’appelle le pavé :

L’ensemble fondamental de pavés est un groupe de plusieurs pavés qui permet de réaliser le pavage avec deux directions de translations :

Ensemble Fondamental de Pavés

L’ensemble fondamental de pavés est un groupe de plusieurs pavés qui permet de réaliser le pavage avec deux directions de translations :

Pavé

Le pavé est l’élément de base d’un pavage.

Comme un pavé est en contact avec d’autres pavés, chaque partie de son contour se retrouve 2 fois :

Groupe de Déplacements

Chaque type de pavage est associé à un groupe de déplacements du plan. Ce groupe est constitué par les déplacements permettant de passer d’un pavé à un autre.

Les déplacements sont :

les translations
les rotations
les symétries centrales
les symétries axiales
les glissages

Les groupes associés aux différents types de pavages sont toujours engendrés par un nombre fini de déplacements, dont 2 translations.

Translations

Dans une translation, on déplace la figure sans la tourner ni la retourner.
La translation est représentée par une flèche appelée vecteur.
Les 2 translations associées à tout pavage permettent de passer d’un ensemble fondamental de pavés à un autre :

Rotations

Dans une rotation, la figure tourne autour d’un point appelé centre.
On doit aussi indiquer l’angle de la rotation.
Les rotations associées à un pavage ont toujours leurs angles égaux à :

1/6 de tour et les angles multiples (2/6=1/3, 3/6=1/2, 4/6=2/3 et 5/6)
1/4 de tour et les angles multiples (2/4=1/2 et 3/4)
1/3 de tour et les angles multiples (2/3)
1/2 tour (ce sont des symétries centrales)

Les centres des rotations sont toujours sur le contour du pavé :

Symétries Centrales

Une symétrie centrale est une rotation dont l’angle est 1/2 tour.

Symétries Axiales

Dans une symétrie axiale, la figure est retournée autour d’un axe.
Lorsqu’un pavage possède un axe de symétrie, une partie du contour du pavé est située le long de cet axe, et ne peut donc être déformée :

Les pavages possédant plusieurs directions d’axes de symétrie ont souvent un contour fixe :

Glissages

Un glissage est obtenu en composant une symétrie axiale avec une translation dont le vecteur est parallèle à l’axe de la symétrie.

Groupe

Un groupe est un ensemble (notons-le G) muni d’une loi de composition interne (si x et y sont éléments de G, x ¤ y aussi) associative ((x ¤ y) ¤ z = x ¤ (y ¤ z), et on peut donc écrire x ¤ y ¤ z) telle qu’il existe un élément neutre (e est l’élément neutre si, pour tout x, on a x ¤ e = e ¤ x = x) et que tout élément ait un inverse (pour tout x, il existe y tel que x ¤ y = y ¤ x = e).

Exemples :

les nombres entiers relatifs (positifs et négatifs) forment un groupe pour l’addition (l’élément neutre est 0, et l’inverse de 5 est -5)
par contre, les nombres entiers positifs seuls ne forment pas un groupe pour l’addition
les déplacements du plan forment un groupe pour la composition.